input

Himpunan

Tue, 08 Dec 2009 02:51:48 +0100

Himpunan

Yaitu sekumpulan yang berasal dari objek-objek dan sifat yang sama berdasarkan aturan yang sama pula.
Notasi dalam suatu himpunan menggunakan huruf besar/kapital, sedangkan isi/ anggota dari himpunan menggunakan huruf kecil.

Ada 3 cara dalam penulisan notasi suatu himpunan :
1. Metode Roster ;
yaitu cara menyajikan suatu himpunan dengan cara menuliskan semua keanggotaannya. Atau dengan memiliki ciri-ciri anggotanya terdaftar dalam bentuk kurung kurawal.
Contoh :
a. P adalah himpunan bilangan semua bilangan asli. P={1,2,3,.........}
b. Q adalah himpunan bilangan yang memenuhi x2-9=0, maka metode Rosternya adalah Q={3,-3}

2. Metode Rule ;
Yaitu cara menyajikan suatu himpunan dengan cara menyebutkan syarat keanggotaannya.Ciri yang lain adalah menggunakan notasi pembentuk himpunan.
Contoh :
a. P adalah himpunan bilangan semua bilangan asli. P ={x l x E bilangan asli }
b. Q adalah himpunan bilangan yang memenuhi x2-9=0. maka Q={ x l E x2-9=0 }

3. Dengan menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi oleh anggota-anggotanya.
Contoh : P= Himpunan dari bilangan asli kurang dari 4.

Latihan :
1. Tentukan cara penulisan notasi suatu himpunan dengan metode rule dan roster, di bawah ini :
a. A=himpunan yang ganjil kurang dari 9
b. B=Himpunan 5 angka bilangan prima
c. C=Himpunan huruf vokal

Jawab :
a. A= Himpunan yang ganjil kurang dari 9
    i) metode roster ; A= {1,3,5,7 }
    ii) metode rule ; A= {x l x E bilangan ganjil < 9 }
b. B= Himpunan 5 angka bilangan prima
    i) metode roster ; B={ 2,3,5,7,11 }
    ii) metode rule B={ x l x E 5 angka bilangan prima }
c. Himpunan huruf vokal
    i) metode roster ; C= { a,i,u,e,o}
    ii) metode rule ; C= {x I x E himpunan huruf vokal }

A. Himpunan-Himpunan

a. Himpunan Kosong ;
yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota, dinotasikan dengan " { } "
Contoh :
    i. A = { himpunan asli kurang dari },
         ini adalah himpunan kosong karena tidak ada bilangan asli yang kurang dari 1, bilangan asli dimulai dari 0 dst.
    ii. B= { x l x2+1=0, x E Real }
        karena hasil dari itu sebenarnya bukan "0" jika harga x adalah real.
    iii. Himpunan manusia yang tidak makan selama setahun masih hidup
        juga termasuk himp. kosong, karena tidak ada dan tdk mungkin manusia hidup meski tidak makan selama satu     tahun.
b. Himpunan Semesta ;
adalah suatu himpunan yang anggotanya dari semua objek yang sedang dibicarakan. Notasinya " S / O ".
Contoh :
I. B={a,b,c,t,r,} himpunan semestanya : S={abjad} / S={x I x adalah abjad }

Sistem Bilangan Real

Tue, 08 Dec 2009 01:52:55 +0100

Sistem Bilangan Real
Bilangan real, dinotasikan dengan Â memainkan peranan yang sangat penting
dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi
dari bilangan real. Secara geometri, bilangan real Â dapat digambarkan sebagai garis
bilangan, dinotasikan dengan Â = ( -¥,¥ ) . Sedangkan himpunan bagian dari garis
bilangan berupa segmen garis atau interval dinotasikan dengan himpunan sebagai berikut.
Garis bilangan : Interval dan himpunan

[a ,b] = x| a£ x £ b}                      (a,b) = {x| a < x < b}
[a,b) = {x| a £ x < b}                     (a,b] = {x| a< x £ b}
(b,¥) = {x| x > b}                          [b,¥) = {x| x ³ b}
(-¥,a) = {x| x < a}                         (-¥,a] = {x| x £ a}
Pertidaksamaan
Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan interval terletak pada
pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar
merupakan salah satu dari bentuk interval di atas. Adapun penjelasannya diberikan berikut.
Bentuk umum pertidaksamaan aljabar :

Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan disebut himpunan
penyelesaian atau solusi pertidaksamaan.
Cara mencari solusi pertidaksamaan aljabar sebagai berikut :
1. Nyatakan pertidaksamaan tersebut sehingga didapatkan salah satu ruasnya menjadi nol,Kemudian sederhanakan bentuk ruas kiri, misal
2. Cari dan gambarkan pada garis bilangan semua pembuat nol dari P(x) dan Q(x).
3. Tentukan setiap tanda ( + atau - ) pada setiap interval yang terjadi dari garis bilangan di
atas. Interval dengan tanda ( - ) merupakan solusi pertidaksamaan.
Contoh :
Tentukan himpunan solusi dari pertidaksamaan berikut :

Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah 0 dan 1. Pada garis bilangan didapatkan
nilai dari tiap selang, yaitu :

Himpunan solusi pertidaksamaan, {0}U(1,¥)

Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak
Secara geometris, nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real x didefinisikan
sebagai jarak dari x terhadap 0, sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai
positif. Notasi yang digunakan adalah :

Logika Matematika

Sat, 05 Dec 2009 17:28:28 +0100

LOGIKA

LOGIKA adalah kajian yang mengkaji penurunan-penurunan kajian yang benar dan juga kajian yang salah.
PERNYATAAN adalah suatu kajian yang memiliki nilai benar dan salah, tetapi juga tidak semestinya memiliki niali keduanya.

Ada 3 teori yang dikemukakan oleh Suriasumantri ('88) yang berkait tentang kriteria kebenaran :
1. TEORI KORESPONDENSI ( The correspondence theory of truth )
    Yaitu suatu kalimat akan bernialai BENAR jika hal-hal yang terkandung didalam pernyataan tersebut sesuai atau
cocok dengan realita yang ada. Contoh : " Sapi adalah hewan herbivora".
2. TEORI KOHERENSI
    Yaitu suatu kalimat akan bernilai BENAR jika pernyataan yang terkandung didalamnya bersifat koheren, tidak
    bertentangan dengan pernyataan-pernyataan yang sebelumnya dianggap benar, konsisten. Contoh : " Rumus keliling
    segitiga adalah 1/2 x alas x tinggi ". Ini adalah pernyataan yang bersifat koheren dan sesuai dengan yang sebenarnya
    dan tidak bertentangan terhadap pernyataan yang sebelumnya.

Pernyataan yang dianggap benar disebut AKSIOMA/POSTULAT.

1. OPERASI NEGASI (PENGINGKARAN) DINOTASIKAN " ~ P "
    Negasi adalah suatu pengingkaran. Jika suatau pernyataan itu benar maka negasi dari pernyataan itu adalah salah.
    Begitu juga sebaliknya, jika suatu pernyatann itu salah maka negasinya adalah benar.
    Contoh :
    Cristiano Ronaldo berasal dari negara Portugal, jadi negasinya adalah CR adalah bukan dari Portugal.
    Tabel kebenaran dari suatu pernyataan :

2. KONJUNGSI " p ^ q "
     Ialah suatu pernyataan yang menggunakan operasi "dan". Suatu konjungsi akan bernilai BENAR, jika komponen-komponen p dan q semuanya bernilai BENAR.
     Contoh : Anak-anak sedang asyik main bola dan bersorak-sorak.
Tabel kebenaran :

3. DISJUNGSI " p v q "
    ialah suatu pernyataan yang menggunakan operasi "atau". Disjungsi akan bernilai BENAR, jika salah satu dari pernyataan itu ada yang BENAR atau akan bernilai salah jika semua pernyataan itu salah.
Tabel kebenaran :

4. IMPLIKASI " p => q "
    ialah pernyataan yang menggunakan operasi "jika". Implikasi akan bernilai salah, jika suatu pernyataan yang pertama benar, sedangkan pernyataan yang kedua salah.
    Tabel kebenaran :

5. BIIMPLIKASI / BIKONDISIONAL" p <=> q"
    Menggunakan operasional "jika dan hanya jika". BIIMPLIKASI akan bernilai BENAR jika kedua pernyataan itu benar dan akan bernilai BENAR juga jika kedua pernyataan itu salah.

Tabel kebenaran :